مجموعه های اندازه پذیر به مثابە نقاط حدی

Transcript

1 فرهنگ و اندیشە ریاضی شماره ۵٧ (پاییز و زمستان ١٣٩۴) صص. ٩٧ تا ١٠۶ مجموعه های اندازه پذیر به مثابە نقاط حدی برگردان: رسول کاظمی جی. تاناکا و پی. اف. مک لولین ١. مقدمه دانشجویان درس آنالیز حقیقی در دورۀ کارشناسی ارشد با قضیە توسیع کاراتي ودوری آشنا میشوند. این قضیه نشان میدهد که چگونه میتوان یک جبر را به یک σ جبر و یک اندازۀ متناهی جمعی روی آن جبر را به اندازهای شماراجمعی روی آن σ جبر گسترش داد. رویکرد متداول در بیان این قضیه عبارت است از تعریف اندازۀ بیرونی وابسته به اندازۀ متناهی جمعی اولیه و سپس استفاده از جمعی بودن اندازۀ بیرونی برای تعریف مجموعههای اندازهپذیر. در این مقاله رویکرد دیگری به قضیە توسیع کاراتي ودوری اراي ه میکنیم که در آن مجموعههای اندازهپذیر بهعنوان نقاط حدی بهدست میآید. نشان میدهیم که σ جبر مجموعههای اندازهپذیر بهطور طبیعی بهعنوان مجموعە تمام نقاط حدی دنبالههای کوشی در جبر اولیه بهوجود میآید. این رهیافت را به دانشجویانی پیشنهاد میکنیم که ممکن است تعریف مرسوم اندازهپذیری را غیرشهودی بدانند. با مروری مختصر بر قضیە توسیع کاراتي ودوری آنچنانکه در [۶] که نمونه بارز کتابهای آنالیز حقیقی است اراي ه میشود شروع میکنیم. گردایهای ناتهی از زیرمجموعههای مجموعە X یک جبر نامیده میشود اگر تحت عملهای اجتماع و مکملگیری بسته باشد و یک σ جبر نام دارد اگر نسبت به عملهای اجتماع شمارا و مکملگیری بسته باشد. گیریم Ω یک جبر و + R مجموعە اعداد حقیقی نامنفی همراه با + باشد. تابع + R μ Ω یک اندازۀ متناهی جمعی نامیده A realizatio of measurable sets as limit poits, J. Taaka, P. F. McLoughli, Amer. Math. Mothly 117 (2010) ١٣٩۴ (انجمن ریاضی ایران) ٩٧

2 های اندازه پذیر به مثابە نقاط حدی ٩٨ مجموعه می شود اگر = ٠ ( )μ و برای هر تعداد متناهی E. ٢, E ١ E از مجموعه های دوبه دو مجزا داشته باشیم i) μ(e E i) =.μ( اگر Ω یک σ جبر باشد تابع + R μ Ω یک اندازۀ شماراجمعی (یا به طور ساده یک اندازه) نامیده می شود اگر = 0 ( )μ و برای هر دنبالە } i {E از مجموعه های دوبه دو مجزا داشته باشیم i) μ(e E i) =.μ( جفت (μ,ω) که از یک σ جبر Ω و یک اندازۀ μ تشکیل شده است یک فضای اندازه نامیده می شود. گیریم μ یک اندازۀ متناهی جمعی روی جبر Ω باشد. به علاوه فرض می کنیم که اگر } i E} دنباله ای از مجموعه های دوبه دو مجزا در Ω باشد و E i Ω آن گاه = i) E μ( (i ١=i μ(e. (روشن است که اگر این شرط برقرار نباشد هیچ توسیعی برای μ به یک اندازۀ شماراجمعی روی یک σ جبر موجود نیست.) توسیع کاراتي ودوری از دو تعریف زیر تشکیل می شود: تعریف.١. ١ گیریم + R μ P(X) با دستور μ (E) = if{ i μ(a i ) E A i, A i Ω, i = ١, ٢, } i تعریف شده باشد. آن وقت μ اندازۀ بیرونی القایی توسط μ نامیده می شود. تعریف ٢.. ١ زیرمجموعە E از X نسبت به μ اندازه پذیر خوانده می شود اگر برای هر P(X) A داشته باشیم ) c.μ (A) = μ (A E) + μ (A E در حالت کلی μ یک اندازه روی P(X) نیست. قضیە توسیع کاراتي ودوری بیان میکند که خانوادۀ M مرکب از مجموعههای اندازهپذیر یک σ جبر است و μ نیز یک اندازۀ شماراجمعی روی M است. قضیە توسیع کاراتي ودوری ابزاری توانمند هم در نظریە اندازه و هم در آمار است (برای مثال [۴] و [١] را ببینید.) ساختار جبر بولی مربوط به توسیع کاراتي ودوری در چندین مقاله بحث شده است ([۵] و [٢]). قضیە توسیع کاراتي ودوری روی مجموعههای فازی در [٧] مورد بحث قرار گرفته است. در این مقاله یک ساختار متریکی روی توسیع کاراتي ودوری در نظر میگیریم که نقاط حدی مورد توجه ویژه است. در مقالهای دیگر [٨] در مورد چگونگی ساخت یک مشبکه روی فضای کامل شدۀ یک جبر و یک یکریختی از آن به توسیع کاراتي ودوریاش بحث کردهایم. توسیع کاراتي ودوری ساختارهای غنی مختلفی دارد که میتوانند موضوع خوبی برای پژوهشهای آینده باشند.

3 جی. تاناکا و پی. اف. مک لولین ٩٩ ٢. پیشنیازها و نتایج اصلی رهیافت توپولوژیکی به توسیع کاراتي ودوری که در این مقاله بیان می کنیم قابل به کارگیری برای هر اندازۀ σ متناهی است. اندازۀ μ را σ متناهی می نامیم هرگاه دنبالە } X} از مجموعه های اندازه پذیر موجود باشد به گونه ای که =١ X X = و < ).μ(x اندازۀ μ متناهی نامیده می شود اگر <.μ(x) کافی است قضیه را برای اندازه های متناهی اثبات کنیم زیرا حالت آورد. σ متناهی را می توان از حالت متناهی همانند اثبات مرسوم قضیە توسیع کاراتي ودوری به دست گیریم μ یک اندازۀ متناهی روی جبر Ω باشد و فرض می کنیم که اگر } i E} دنباله ای از مجموعه های دوبه دو مجزا در Ω باشد و E i Ω آن گاه i) μ(e E i) =.μ( گیریم μ اندازۀ بیرونی القایی از μ باشد. برخی از ویژگی های مشهور اندازۀ بیرونی را که در کتاب های آنالیز حقیقی (مثلا [۶]) می توان یافت در اینجا گردآوری کرده ایم: μ یکنوا است: برای هر P(X) A, B اگر A B آن گاه (B) μ (A) μ μ شمارا زیرجمعی است: برای هر دنبالە } i {A در P(X) μ ( A i ) μ (A i ) μ [۶]) μ Ω = صفحە ٢٩٢ را ببینید) فرض کنید + R d P(X) P(X) با دستور B) d(a, B) = μ (A تعریف شده است که A B تفاضل متقارن A و B را نمایش می دهد. در این صورت d یک شبه متریک است یعنی d در تعریف یک متر صدق می کند به جز این که ممکن است مجموعه های P(X),A B موجود باشند به گونه ای که A B و = ٠ (B.d(A, اگر تعریف کنیم A B هرگاه = ٠ (B d(a, آن وقت یک رابطە هم ارزی روی P(X) است و d یک متریک روی P(X) القا می کند. دنبالە } {B در Ω را μ کوشی نامیم اگر ٠ ) m d(b, B وقتی.m, حال S کوشی تعریف میکنیم. به عبارت دیگر μ را گردایە تمام نقاط حدی دنبالههای S خانوادۀ مجموعه های P(X) S است با این ویژگی که دنبالە μ کوشی } B} وجود دارد که S این خانوادۀ.lim μ (B S) = ٠ جایگزین گردایە مجموعه های اندازه پذیر در تعریف ٢. ١ مربوط به قضیە توسیع کاراتي ودوری خواهد شد. برای μ(s) S S را برابر با ) lim μ(b تعریف می کنیم که } B} یک دنبالە μ کوشی همگرا به S است.

4 های اندازه پذیر به مثابە نقاط حدی ١٠٠ مجموعه در اینجا به این نکتە کلیدی باید توجه کرد که دنباله ای که جملاتش از اجتماع جملات نظیر به نظیر دو دنبالە کوشی حاصل شود خود یک دنبالە کوشی است و دنباله ای که جملاتش مکمل جمله های یک دنبالە کوشی است یک دنبالە کوشی است. از این موضوع نتیجه می شود که S یک جبر است. بهعلاوه اگر } i S} یک دنباله در S باشد با ساختن یک دنبالە μ کوشی که به ١=i i S همگراست نشان میدهیم که S یک σ جبر است. همچنین نشان خواهیم داد که (μ (,S همان فضای اندازه ای است که در قضیە توسیع کاراتي ودوری به دست می آید. به این ترتیب مجموعه های اندازه پذیر در قضیە توسیع کاراتي ودوری را به چشم نقاط حدی می نگریم. ٣. اثبات قضایای اصلی لم زیر چندین بار در ادامە این مقاله استفاده خواهد شد. لم.١. ٣ برای هر P(X).d(A B, C D) d(a, C) + d(b, D) A, B, C, D اثبات. چون D) (A B) (C D) (A C) (B حکم از یکنوایی و زیرجمعی بودن μ نتیجه می شود. دو لم زیر برای اثبات خوشتعریفی μ لازم اند. لم ٢.. ٣ اگر } B} یک دنبالە μ کوشی باشد آن گاه {( {μ(b یک دنبالە کوشی از اعداد حقیقی است. اثبات. با استفاده از نامساوی مثلثی برای d داریم μ(b m ) μ(b ) = d(b m, ) d(b, ) d(b m, B ). چون ٠ ) d(b m, B پس )} {μ(b یک دنبالە کوشی در R است. لم.٣. ٣ اگر } {A و } {B دنباله های μ کوشی باشند که به S.lim μ(a ) = lim μ(b ) موجودند و lim μ(b ) و lim μ(a ) می کنیم که S همگرایند آن گاه اثبات. وجود حدود از لم ٢. ٣ نتیجه می شود. برای باقیماندۀ اثبات از این حقیقت استفاده μ(a ) μ(b ) d(a, B ) d(a, S) + d(s, B ) ٠.

5 جی. تاناکا و پی. اف. مک لولین ١٠١ همان طور که در بخش ٢ بیان شد یک نکتە مهم این است که دنباله های μ کوشی نسبت به اجتماع و مکمل گیری جملاتشان بسته هستند. به طور دقیق تر: لم.۴. ٣ گیریم } {B } {A و } {C دنباله های μ کوشی باشند. آن وقت } {A B و } c C)} ) نیز دنباله های μ کوشی هستند. اثبات. ادعای نخست از لم ١. ٣ آشکار است. دومی از این حقیقت که = c C) ) c C) m ) C C m به دست می آید. حال با استفاده از لم قبل نشان می دهیم که گردایە S جبر است. لم.۵. ٣ S یک جبر است. از نقاط حدی دنباله های μ کوشی یک H.S, دنباله های μ کوشی } {A و } {B به ترتیب متناظر با S و d(s H, A B ) d(s, A ) + d(h, B ). اثبات. گیریم S H موجودند. بنابر لم ١. ٣ طبق لم ۴. ٣ } A} B یک دنبالە μ کشی است بنابراین با حدگیری از دو طرف نتیجه H S. توجه کنید که نشان داده ایم } A} B یک دنبالە μ کوشی متناظر می گیریم S با S H است. بهطور مشابه S c S و بنابراین S یک جبر است. گیریم.S S همانند بخش ٢ μ(s) را برابر با ) lim μ(b تعریف می کنیم که } {B یک دنبالە μ کوشی است که به S همگراست. با لم زیرخود را برای تعریف یک اندازه روی S آماده می کنیم. لم.۶. ٣ μ تابعی خوشتعریف است و μ.μ S = اثبات. گیریم.S S لم ٣. ٣ نشان میدهد که μ(s) دنبالە μ کوشی همگرا به S باشد آن گاه خوش تعریف است. اگر } B} یک μ (S) μ(b ) = d(s, ) d(b, ) d(s, B ) ٠. بنابراین (S) μ(s) = lim μ(b S ) = μ و از اینرو.μ = μ

6 های اندازه پذیر به مثابە نقاط حدی ١٠٢ مجموعه لمهای ٨. ٣ و ٩. ٣ نشان خواهند داد که (μ (,S یک فضای اندازه است. قبل از بیان این لمها. μ(s H) = نشان میدهیم که μ یک اندازۀ متناهی جمعی است. به طور دقیق تر: μ(s) + μ(h) جدا از هم باشند آنگاه S, H H,S جدا از هم باشند. دنباله های μ کوشی } A} و } B} به ترتیب لم.٧. ٣ اگر S اثبات. گیریم S متناظر با S و H وجود دارند. چنان که در اثبات لم ۵. ٣ دیدیم } A} B یک دنبالە μ کوشی متناظر با S H است. چون μ متناهی جمعی است ) μ(a B ) = μ(a )+μ(b A B (A S) (B H) جدا از هم هستند H و S حال چون.μ(A B ) و لذا μ(a, B ) μ [(A S) (B H)] μ (A S) + μ (B H) = d(a, S) + d(b, H) ٠. μ(s H) = lim μ(a B ) این نتیجه می دهد = lim μ(a ) + lim μ(b ) lim μ(a B ) = μ(s) + μ(h). یک σ جبر است. باشد. با استفاده از لم های لم.٨. ٣ S اثبات. گیریم } i S} یک دنباله از مجموعه های دوبه دو مجزا در S. ٣ ۶ و ٧. ٣ به ازای هر عدد صحیح مثبت داریم μ (S i ) = μ(s i ) = μ( S i ) = μ ( S i ) μ(x) <, و بنابراین سری ) i μ (S همگراست. پس بنابر زیرجمعی بودن μ (١. ٣) d( S i, S i ) = μ ( i=+١ S i ) i=+١ μ (S i ) ٠

7 جی. تاناکا و پی. اف. مک لولین ١٠٣ وقتی ٠. اکنون یک دنبالە μ کوشی می سازیم که نسبت به شبه متریک d به ١=i S i همگرا باشد. به ازای هر عدد صحیح مثبت i گیریم { B} i یک دنبالە μ کوشی همگرا به S i باشد. پس با استفاده از اثبات لم ۵. ٣ دنباله های همگرای زیر را داریم: B ١ ١ B ١ ٢ S ١ B ١ ١ B٢ ١ B ١ ٢ B٢ ٢ S ١ S ٢ m Bi ١ m Bi ٢ m S i برای هر عدد صحیح مثبت L رابطە (٣ ١). نتیجه می دهد عدد صحیح N L چنان موجود است که N L d( S i, S i ) < ١ ٢L. علاوه بر این برای هر N L عدد صحیح K L یافت می شود به طوری که N L N L d( BK i L, S i ) < 1 2L. i=1 i=1 بنابراین d( N L Bi K L, S i) d( N L Bi K L, N L S i)+d( N L S i, S i) ١ ٢L + ١ ٢L = ١ L. Y. L = N L در این صورت } L Y} یک دنبالە μ کوشی است که به Bi K L قرار میدهیم i S همگراست. پس i S S و لذا S یک σ جبر است. لم.٩. ٣ μ یک اندازۀ شمارا جمعی روی S است.

8 های اندازه پذیر به مثابە نقاط حدی ١٠۴ مجموعه اثبات. با همان نمادهای اثبات لم ٨. ٣ برای هر > ٠ ε عدد طبیعی M موجود است که μ( i=+١ S i ) = μ ( μ( S i ) = μ( S i ) + μ( i=+١ S i ) i=+١ μ (S i ) < ε. به ازای هر M علاوه بر این با استفاده از لم های ٧. ٣ و ٨. ٣ برای هر N یک اندازۀ شماراجمعی روی S است. i=+١ S i ) = μ(s i ) + μ( i=+١ μ که نشان میدهد μ( S i) = یک توسیع از جبر Ω به یک σ جبر S i ). پس ) i μ(s جمع بندی نتایج در قضیە اصلی ١٠. ٣ بیان می کند که S است و μ یک توسیع از اندازۀ متناهی جمعی μ روی Ω به یک اندازه روی S طبق قضیە اصلی ١١. ٣ این توسیع همان توسیع مرسوم کاراتي ودوری است. قضیه.١٠. ٣ (μ,s ( یک فضای اندازه است. است. علاوه براین اثبات. حکم از لم های ٨. ٣ و ٩. ٣ نتیجه می شود. مطابق با تعریف مرسوم E اگر و فقط اگر E قضیه.١١. ٣ برای هر P(X) E داریم S اندازه پذیری در تعریف ٢. ١ اندازه پذیر باشد. اثبات. ( ) تمرینی معمولی در کتاب های درسی آنالیز حقیقی است. E و P(X) A دلخواه باشد. با استفاده از زیرجمعی بودن μ داریم μ (A) μ (A E) + μ (A E c ). ( ) فرض کنیم S بنابراین برای اثبات اینکه E اندازه پذیر است لازم است که عکس نامساوی اخیر را بررسی کنیم. گیریم } {B یک دنبالە μ کشی باشد به قسمی که = ٠ ).lim μ (E B بنابراین داریم {B } چون N به علاوه برای هر.lim μ (E c B ) و = ٠ lim μ (E B c ) = ٠ (٢. ٣) μ (A) = μ (A B ) + μ (A B c ); اندازه پذیر است

9 جی. تاناکا و پی. اف. مک لولین ١٠۵ (٣. ٣) μ (A E) = μ (A E B ) + μ (A E B c ); (۴. ٣) μ (A E c ) = μ (A E c B ) + μ (A E c B c ). با جمع کردن معادلات (٣ ٣). و (٣ ۴). و به کارگیری یکنوایی و معادلە (٣ ٢). داریم μ (A E) + μ (A E c ) = μ (A E B ) + μ (A E B c ) + μ (A E c B ) + μ (A E c B c ) μ (A B ) + μ (E B c ) + μ (E c B ) + μ (A B) c = μ (A) + μ (E B) c + μ (E c B ). سرانجام با حدگیری وقتی نتیجه میگیریم μ (A E) + μ (A E c ) μ (A). بنابراین ) c μ (A) = μ (A E) + μ (A E و E اندازه پذیر است. ۴. جمعبندی قضیههای ١٠. ٣ و ١١. ٣ نشان میدهند که وقتی μ یک اندازۀ متناهی است فضای اندازۀ (μ (,S با توسیع کاراتي ودوری مطابقت دارد. علاوه بر این قضیە ١١. ٣ نشان میدهد که مجموعههای اندازهپذیر دقیقا نقاط حدی دنبالههای μ کوشیاند و اندازۀ توسیعیافته در اثبات مرسوم قضیە کاراتي ودوری همان اندازۀ حدی روی دنبالههای μ کوشی است. حالت σ متناهی از حالت متناهی نتیجه میشود. تشکر و قدردانی نویسندۀ اول علاقهمند است از پدر بزرگش ویچی تاناکا ١ به خاطر الهامبخش بودنش وکمکهای مالی و از آندریو آم س ٢ برای تشویق او در پیش بردن تحصیلاتش تشکر نماید. با حمایتهای مهربانانه این دو نویسندۀ اول توانست به پیشرفتهاي ی ورای آنچه که تصورش را میکرد ناي ل شود. ضمنا هر دو نویسنده علاقهمندند از پروفسور میشل لاپیدوس ٣ و پروفسور جیمز استافنی ۴ و داوران ١ Waichi Taaka ٢ Adrew Aames ٣ Michel L. Lapidus ۴ James D. Stafey

10 های اندازه پذیر به مثابە نقاط حدی ١٠۶ مجموعه ناشناس برای توصیه های تخصصی آنها در مورد این مقاله و از آنه هانسن ١ و الیجا دپالما ٢ برای کمک های ویرایشی تشکر نمایند. مراجع [1] R. N. Bhattacharya ad E. C. Waymire, Stochastic processes with applicatios, Wiley IterSciece, New York, [2] T. Coquad ad E. Palmgre, Metric boolea algebras ad costructive measure theory, Arch. Math. Logic, 41 (2002) [3] N. Duford ad J. T. Schwartz, Liear operators, geeral theory (Part 1), Wiley Iter- Sciece, New York, [4] T. R. Flemig ad D. P. Harrigto, Coutig Processes ad Survival Aalysis, Wiley IterSciece, New York, [5] A. N. Kolmogorov, Complete metric boolea algebras, Stud., 77 (1995) [6] H. L. Royde, Real aalysis, 3rd ed., Pretice Hall. Eglewood Cliffs, NJ, [7] M. Sahi, O Carathéodory extesio theorem o fuzzy measure space, Far East J. Math. Sci., 26 (2007) [8] J. Taaka ad P. F. Mcloughli, Costructio of a lattice o the completio of a algebra ad a isomorphism to its Carathéodory extesio, ( to appear). رسول کاظمی: دانشکدۀ علوم ریاضی دانشگاه کاشان رایانامه: r.kazemi@kashau.ac.ir ١ Ae Hase ٢ Elijah Depalma